Question

已知點F₁，F₂為橢圓

x2

2

+y2=1的兩個焦點，點O為坐標原點，圓O是以F₁，F₂為直徑的圓，一條直線與圓O相切并與橢圓交于不同的兩點A，B．
（1）設b=f（k），求f（k）的表達式；
（2）若

OA

•

OB

=

2

3

，求直線l的方程；
（3）若

OA

•

OB

=m，(

2

3

≤m≤

3

4

)，求三角形OAB面積的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先利用條件求出圓O的方程，再利用圓心到直線的距離等于半徑可得b和k滿足的關系式；
（2）先把直線l的方程與雙曲線方程聯立求出A、B兩點的坐標與b和k之間的等式，再利用 (

OA

•

OB

)p2=1以及（1）的結論求出b和k進而求得直線l的方程；
（3）用類似于（2）的方法求出之間的關系式，求出弦AB的長，再把△AOB面積整理成關于m的函數；利用函數的單調性求出△AOB面積的取值范圍即可．

解答：解：∵c=1且直線與圓O相切∴

|b|

1+k2

=1∵b＞0，∴b=

1+k2

（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則由

y=kx+b x2 2 +y2=1

，消去y得（2k²+1）x²+4kbx+2b²-2=0
又△=8k2＞0(Qk≠0)，x1+x2=-

4kb

2k2+1

，x1x2=

2b2-2

2k2+1

則

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=

k2+1

2k2+1

．
由

OA

•

OB

=

2

3

，∴k²=1，b²=2.

b＞0

，∴b=

2

，
直線l的方程為：y=±x+

2

．
（3）由（2）知：

k2+1

2k2+1

=m．Q

2

3

≤m≤

3

4

，∴

2

3

≤

k2+1

2k2+1

≤

3

4

，∴

1

2

≤k2≤1，
由弦長公式得|AB|=

k2+1

•

2 k2

2k2+1

，所以S=

1

2

|AB|=

2k2(k2+1)

2k2+1

解得∴

6

4

≤S≤

2

3

．

點評：本題主要考查了向量在幾何中的應用，是對函數，向量，拋物線以及圓的綜合考查，由于知識點較多，是道難題．