Question

通過研究學(xué)生的學(xué)習(xí)行為，心理學(xué)家發(fā)現(xiàn)，學(xué)生的接受能力依賴于老師引入概念和描述問題所用的時(shí)間．授課開始時(shí)，學(xué)生的興趣激增，中間有一段不太長的時(shí)間，學(xué)生的興趣保持較理想的狀態(tài)，隨后學(xué)生注意力開始分散．分析結(jié)果和實(shí)驗(yàn)表明，用f（x）表示學(xué)生掌握和接受概念的能力，x表示提出和講授概念的時(shí)間（單位：分），可有以下的關(guān)系：f（x）=

-0.1x2+2.6x+43(0＜x≤10) 59                            (10＜x≤16) -2x+91                 (16＜x≤40)

（1）開講后多少分鐘，學(xué)生的接受能力最強(qiáng)？這個(gè)強(qiáng)度可以持續(xù)多長時(shí)間？
（2）開講后5分鐘與開講后20分鐘比較，學(xué)生的接受能力何時(shí)強(qiáng)一些？
（3）一道數(shù)學(xué)難題，需要55的接受能力以及13分鐘的時(shí)間，老師能否及時(shí)在學(xué)生一直達(dá)到所需接受能力的狀態(tài)下講授完？

Answer 1

分析：（1）求學(xué)生的接受能力最強(qiáng)其實(shí)就是要求分段函數(shù)的最大值，方法是分別求出各段的最大值取其最大即可．
（2）比較5分鐘和15分鐘學(xué)生的接受能力何時(shí)強(qiáng)，方法是把x=5代入第一段函數(shù)中，而x=15要代入到第二段函數(shù)中，比較大小即可．不同的自變量代入相應(yīng)的解析式才能符合要求．
（3）考查分段函數(shù)圖象和增減性，令f（x）=55，第一段函數(shù)解得x=6，第三段函數(shù)解得x=18，關(guān)鍵是從圖象上知道6＜x＜18時(shí)，f（x）＞55，然后求出兩個(gè)時(shí)間之差就是持續(xù)的時(shí)間，最后和13分鐘比較大小即可．

解答：解：（1）當(dāng)0＜x≤10時(shí)，f（x）=-0.1x²+2.6x+43
為開口向下的二次函數(shù)，對稱軸為x=13
故f（x）的最大值為f（10）=59
當(dāng)10＜x≤16時(shí)，f（x）=59
當(dāng)x＞16時(shí)，f（x）=-2x+91為減函數(shù)，且f（x）＜59
因此，開講10分鐘后，學(xué)生達(dá)到最強(qiáng)接受能力（為59），能維持6分鐘時(shí)間．（5分）
（2）∵當(dāng)0＜x≤10時(shí)，f（x）=-0.1x²+2.6x+43
∴f（5）=-0.1×5²+2.6×5+43=53.5；
∵當(dāng)x＞16時(shí)，f（x）=-2x+91，
∴f（20）=51．
故開講20分鐘時(shí)學(xué)生的接受能力比開講5分鐘時(shí)要弱一些．（8分）
（3）令f（x）=55解得x=6或x=18，
且當(dāng)6≤x≤18時(shí)，f（x）≥55
因此學(xué)生達(dá)到（含超過）55的接受能力的時(shí)間為18-6=12＜13，
故老師能在學(xué)生一直達(dá)到所需接受能力的狀態(tài)下講授完這個(gè)難題．（12分）．

點(diǎn)評：本題考查的是分段函數(shù)的基本知識及分段函數(shù)圖象增減性的應(yīng)用．解題時(shí)學(xué)生容易出錯(cuò)，原因是學(xué)生把分段函數(shù)定義理解不清，自變量取值不同，函數(shù)解析式不同是分段函數(shù)最顯著的特點(diǎn)．