Question

【題目】已知函數

（1）當時，求的單調區間；

（2）令，區間， 為自然對數的底數。

（ⅰ）若函數在區間上有兩個極值，求實數的取值范圍；

（ⅱ）設函數在區間上的兩個極值分別為和，

求證： .

Answer 1

【答案】（1）增區間，減區間，（2）詳見解析

【解析】試題分析：（1）求導寫出單調區間；（2）（ⅰ）函數 在區間D上有兩個極值，等價于 在 上有兩個不同的零點，令 ，得 ，通過求導分析得 的范圍為；（ⅱ） ，得，由分式恒等變換得，得，要證明 ，只需證 ，即證，

令 ， ，通過求導得到 恒成立，得證。

試題解析：

(1)當時， ，

所以

若 ，則 所以的單調區增區間為

若則所以的單調區增區間為

（2）（ⅰ）因為 ，

所以 ， ，

若函數 在區間D上有兩個極值，等價于 在 上有兩個不同的零點，

令 ，得 ，

設 ，令

		大于0	0	小于0
	0	增		減

所以 的范圍為

（ⅱ）由（ⅰ）知，若函數在區間D上有兩個極值分別為 和，不妨設 ，則 ，

所以

即 ，

要證 ，只需證 ，即證，

令 ，即證 ，即證 ，

令 ，因為 ，

所以 在上單調增， ，所以 ，

即 所以 ，得證。