Question

已知圓F的方程是x²+y²-2y=0，拋物線的頂點在原點，焦點是圓心F，過F引傾斜角為α的直線l，l與拋物線和圓依次交于A、B、C、D四點（在直線l上，這四個點從左至右依次為A、B、C、D），若|AB|，|BC|，|CD|成等差數列，則α的值為（　　）

• A、±arctan

  2

  2

• B、

  π

  4

• C、arctan

  2

  2

• D、arctan

  2

  2

  或π-arctan

  2

  2

Answer 1

分析：根據拋物線的焦點是圓心F，求出p，進而求出拋物線的解析式；據|AB|，|BC|，|CD|成等差數列，求出AD的長度，A、D兩點是拋物線和直線的交點，聯立拋物線和直線，利用兩點間距離公式即可求出結果．

解答：解：∵圓Fx²+y²-2y=0 即x²+（y-1）²=1
∴F（0，1），r=1
∵拋物線以F點為焦點

p

2

=1
∴拋物線方程為：x²=4y
過F點的直線與拋物線相交于A、D兩點，
BC為圓F的直徑|BC|=2
∵|AB|，|BC|，|CD|成等差數列
∴2|BC|=|AB|+|CD|=|AD|-|BC|=|=|AD|-2=4
∴|AD|=6
∵直線l過F（0，1）則設直線解析式為：y=kx+1
A、D兩點是過F點的直線與拋物線交點
設A（x₁，y₁）D（x₂，y₂）則|AD|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=6
聯立y=kx+1和x²=4y，得x²-4kx-4=0
∴x₁x₂=-4  x₁+x₂=4k
∴|AD|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

(x1-x2) 2+k2(x1-x2) 2

= 

(x1-x2) 2(1+k2)

=

[(x1+x2) 2- 4x1x2](1+k2)

=

16(1+k2)2

=6
∴1+k²=

3

2

∴k=±

2

2

∴α的值為：arctan

2

2

或π-arctan

2

2

故選D．

點評：本題主要綜合考查直線與圓、拋物線以及數列的相關知識，關鍵是利用兩點間的距離公式；同時注意運用數形結合的方法解決此類問題．