Question

如圖，將圓分成n個區(qū)域，用3種不同顏色給每一個區(qū)域染色，要求相鄰區(qū)域顏色互異，把不同的染色方法種數(shù)記為a_n.

（1）        ；
（2）        .

Answer 1

（1）18；（2）.

試題分析：（1）設(shè)三種不同顏色分別為甲、乙、丙三種.時，第1區(qū)域有3種選擇， 第2區(qū)域有2種選擇，第3區(qū)域有2種選擇，因為第4區(qū)域要與第1區(qū)域顏色不同，故對第3區(qū)域的選擇分類討論：當(dāng)?shù)?區(qū)域與第1區(qū)域顏色相同時，第4區(qū)域有2種選擇；當(dāng)?shù)?區(qū)域與第1區(qū)域顏色不同時，第4區(qū)域僅有1種選擇.所以；（2）當(dāng)將圓分成n個區(qū)域，用3種不同顏色給每一個區(qū)域染色時，第1區(qū)域有3種染色方案，第2區(qū)域至第區(qū)域有2種染色方案.此時考慮第區(qū)域也有2種涂色方案，在此情況下有兩種情況：
情況一：第區(qū)域與第1區(qū)域同色,此時相當(dāng)將這兩區(qū)域重合，這時問題轉(zhuǎn)化為3種不同顏色給圓上個區(qū)域涂色,即為種染色方案；
情況二：第區(qū)域與第1區(qū)域不同色,此時問題就轉(zhuǎn)化為用3種不同顏色給圓上個區(qū)域染色,且相鄰區(qū)域顏色互異，即此時的情況就是.根據(jù)分類原理可知，且滿足初始條件：.
即遞推公式為，由變形得，所以數(shù)列是以-1為公比的等比數(shù)列.所以，即.當(dāng)時，易知有3種染色方法，即，不滿足上述通項公式；當(dāng)時，易知有種染色方法，即，滿足上述通項公式；當(dāng)時，易知有種染色方法，即，滿足上述通項公式.
綜上所述，.