Question

甲、乙兩人各射擊一次，擊中目標(biāo)的概率分別是

2

3

和

3

4

．假設(shè)兩人射擊是否擊中目標(biāo)，相互之間沒有影響；每人各次射擊是否擊中目標(biāo)，相互之間也沒有影響．
（1）求甲射擊4次，至少1次未擊中目標(biāo)的概率；
（2）求兩人各射擊4次，甲恰好擊中目標(biāo)2次且乙恰好擊中目標(biāo)3次的概率；
（3）假設(shè)某人連續(xù)2次未擊中目標(biāo)，則停止射擊．問：乙恰好射擊5次后，被中止射擊的概率是多少？

Answer 1

分析：（1）由題意知，兩人射擊是否擊中目標(biāo)，相互之間沒有影響；擊中目標(biāo)的概率分別是

2

3

和

3

4

，射擊4次，相當(dāng)于4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)和互斥事件的概率公式得到結(jié)果．
（2）兩人各射擊4次，甲恰好擊中目標(biāo)2次且乙恰好擊中目標(biāo)3次，表示相互獨(dú)立的兩個(gè)事件同時(shí)發(fā)生，寫出兩個(gè)事件的概率，根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率公式得到結(jié)果．
（3）乙恰好射擊5次后，被中止射擊，表示最后兩次射擊一定沒有射中，前兩次最多一次沒擊中，這幾個(gè)事件之間是相互獨(dú)立的，根據(jù)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率得到結(jié)果．

解答：解：（1）記“甲連續(xù)射擊4次，至少1次未擊中目標(biāo)”為事件A₁，
由題意知兩人射擊是否擊中目標(biāo)，相互之間沒有影響，
射擊4次，相當(dāng)于4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，
故P（A₁）=1-P（

.

A1

）=1-(

2

3

)4=

65

81

．
即甲射擊4次，至少1次未擊中目標(biāo)的概率為

65

81

；
（2）記“甲射擊4次，恰好擊中目標(biāo)2次”為事件A₂，
“乙射擊4次，恰好擊中目標(biāo)3次”為事件B₂，
P（A₂）=

C

2 4

(

2

3

)2(1-

2

3

)4-2=

8

27

，
P（B₂）=

C

3 4

(

3

4

)3(1-

3

4

)4-3=

27

64

．
由于甲、乙設(shè)計(jì)相互獨(dú)立，
故P（A₂B₂）=P（A₂）P（B₂）=

8

27

•

27

64

=

1

8

．
即兩人各射擊4次，甲恰好擊中目標(biāo)2次且乙恰好擊中目標(biāo)3次的概率為

1

8

；
（3）記“乙恰好射擊5次后，被中止射擊”為事件A₃，
“乙第i次射擊為擊中”為事件D_i，（i=1，2，3，4，5），
則A₃=D₅D₄

.

D3

（

.

D2

.

D1

），且P（D_i）=

1

4

，
由于各事件相互獨(dú)立，
故P（A₃）=P（D₅）P（D₄）P（

.

D3

）P（

.

D2

.

D1

）=

1

4

×

1

4

×

3

4

×（1-

1

4

×

1

4

）=

45

1024

，
即乙恰好射擊5次后，被中止射擊的概率是

45

1024

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查排列組合問題的實(shí)際應(yīng)用，考查相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，是一個(gè)綜合題，可以作為解答題出現(xiàn)在試卷上．