Question

已知函數
（1）判定并證明函數的奇偶性；
（2）試證明在定義域內恒成立；
（3）當時，恒成立，求m的取值范圍.

Answer 1

（1）偶函數，（2）詳見解析，（3）.

解析試題分析：（1）判定函數的奇偶性，首先判定定義域是否關于原點對稱，定義域為：關于原點對稱，其次研究與的相等或相反的關系：所以為偶函數，（2）由于函數為偶函數，所以只需證明時，當時，，，恒成立，當時，所以，由（1）可知：，綜上所述，在定義域內恒成立（3）恒成立問題一般利用變量分離法轉化為最值問題. 恒成立對恒成立，∴ ，∴ ，令可證在[1,3]上為減函數  ∴對恒成立　∴ ，所以m的取值范圍是.
試題解析：解：（1）為偶函數，證明如下：
定義域為：關于原點對稱，
對于任意有：        2分

成立
所以為偶函數         5分
（2）因為定義域為：，
當時，
，，恒成立，      7分
當時，所以，由（1）可知：     9分
綜上所述，在定義域內恒成立      10分
（3）恒成立對恒成立，
∴ ，∴ ，令
證明在[1,3]上為減函數（略）（不證明單調性扣2分）
∴對恒成立　        12分
∴                           
所以m的取值范圍是                 14分
考點：函數奇偶性，函數單調性