Question

（本小題滿分12分）在數(shù)列中， ，，．
（Ⅰ）證明數(shù)列是等比數(shù)列；
（II）求數(shù)列的前項和．
（Ⅲ）證明對任意，不等式成立．

Answer 1

（Ⅰ）由題設(shè)，得，．
又，所以數(shù)列是首項為，且公比為的等比數(shù)列．
（II）;（Ⅲ）對任意的，
．
所以不等式，對任意皆成立．

解析試題分析：（Ⅰ）證明：由題設(shè)，得
，．
又，所以數(shù)列是首項為，且公比為的等比數(shù)列．…………4分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，于是數(shù)列的通項公式為．
所以數(shù)列的前項和．…………8分
（Ⅲ）證明：對任意的，
．
所以不等式，對任意皆成立．…………12分
考點：等比數(shù)列的定義；等比數(shù)列的性質(zhì)；通項公式的求法；前n項和的求法。
點評：設(shè)數(shù)列，其中為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，若求數(shù)列的前n項和，我們一般用分組求和法。分組求和法經(jīng)常考到，我們要熟練掌握。