Question

已知中心在原點，焦點在軸上的橢圓的離心率為，且經過點.
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）是否存過點（2,1）的直線與橢圓相交于不同的兩點，滿足？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

⑴．   ⑵y=1/2x

第一問利用設橢圓的方程為，由題意得
解得
第二問若存在直線滿足條件的方程為，代入橢圓的方程得
．
因為直線與橢圓相交于不同的兩點，設兩點的坐標分別為，
所以
所以．解得。
解：⑴設橢圓的方程為，由題意得
解得，故橢圓的方程為．……………………4分
⑵若存在直線滿足條件的方程為，代入橢圓的方程得
．
因為直線與橢圓相交于不同的兩點，設兩點的坐標分別為，
所以
所以．
又，
因為，即，
所以．
即．
所以，解得．
因為A,B為不同的兩點，所以k=1/2．
于是存在直線L₁滿足條件，其方程為y=1/2x