Question

定義在R上的函數f（x）既是奇函數，又是周期函數，T是它的一個正周期．若將方程f（x）=0在閉區間[-T，T]上的根的個數記為n，則n可能為（ ）
A．0
B．1
C．3
D．5

Answer 1

【答案】分析：分別分析（0，T）和（-T，0）函數的根的數量．
解答：解：因為函數是奇函數，所以在在閉區間[-T，T]，一定有f（0）=0，
∵T是f（x）的一個正周期，所以f（0+T）=f（0）=0，即f（T）=0，所以f（-T）=-f（T）=0，
∴-T、0、T是f（x）=0的根，若在（0，T）上沒有根，則恒有f（x）＞0或f（x）＜0；
不妨設f（x）＞0，則x∈（-T，0）時，f（x）＜0，但又有f（x）=f（x+T）＞0，矛盾．
∴f（x）=0在（0，T）上至少還有一個根．
同理，在（-T，0）上也至少還有一個根，
∴至少有5個根．
故選D
點評：本題主要考查函數的奇偶性．在本題中注意推論的嚴密性．