Question

已知正四棱錐P-ABCD的底面邊長及側棱長均為13，M、N分別是PA、BD上的點，且PM：MA=BN：ND=5：8．
（1）求證：直線MN∥平面PBC；
（2）求直線MN與平面ABCD所成的角．

Answer 1

分析：本題考查的知識點是直線與平面平行的判定，及線面夾角（1）要證明直線MN∥平面PBC，關鍵是在平面內找到可能與MN平行的直線，由已知我們根據平行線分線段成比例定理，及得結論；（2）要求直線MN與平面ABCD所成的角，即求直線PE與平面ABCD所成的角，構造三角形，解三角形即可求解．

解答：（1）證明：∵P-ABCD是正四棱錐，
∴ABCD是正方形．連接AN并延長交BC于點E，連接PE．
∵AD∥BC，∴EN：AN=BN：ND．
又∵BN：ND=PM：MA，
∴EN：AN=PM：MA．
∴MN∥PE．
又∵PE在平面PBC內，∴MN∥平面PBC．

（2）解：由（1）知MN∥PE，∴MN與平面ABCD所成的角就是PE與平面ABCD所成的角．
設點P在底面ABCD上的射影為O，連接OE，則∠PEO為PE與平面ABCD所成的角．
由正棱錐的性質知PO=

PB2-OB2

=

13 2

2

．
由（1）知，BE：AD=BN：ND=5：8，
∴BE=

65

8

．
在△PEB中，∠PBE=60°，PB=13，BE=

65

8

，
根據余弦定理，得PE=

91

8

．
在Rt△POE中，PO=

13 2

2

，PE=

91

8

，
∴sin∠PEO=

PO

PE

=

4 2

7

．
故MN與平面ABCD所成的角為arcsin

4 2

7

．

點評：判斷或證明線面平行的常用方法有：①利用線面平行的定義（無公共點）；②利用線面平行的判定定理（a?α，b?α，a∥b?a∥α）；③利用面面平行的性質定理（α∥β，a?α?a∥β）；④利用面面平行的性質（α∥β，a?α，a?，a∥α??a∥β）．線線垂直可由線面垂直的性質推得，直線和平面垂直，這條直線就垂直于平面內所有直線，這是尋找線線垂直的重要依據．垂直問題的證明，其一般規律是“由已知想性質，由求證想判定”，也就是說，根據已知條件去思考有關的性質定理；根據要求證的結論去思考有關的判定定理，往往需要將分析與綜合的思路結合起來．