Question

【題目】如圖,直線與圓 且與橢圓相交于兩點.

(1)若直線恰好經過橢圓的左頂點,求弦長

(2)設直線的斜率分別為,判斷是否為定值,并說明理由

(3)求，面積的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】試題分析：(1)由題意設直線由直線與圓相切可得，可得，故分兩種情況可求得。（2）（ⅰ）當直線的斜率不存在時，得；（ⅱ）當的斜率存在時，設直線 將其代入圓的方程得，根據斜率公式及根與系數的關系計算可得。從而可得。（3）（ⅰ）當斜率不存在或為時，可得。當的斜率存在且不為時，設直線，可求得點B的坐標為

故可得 ，令，則 ，故當 有最小值，且 .

試題解析：

（1）由題意直線斜率存在，設直線

因為直線與圓相切，

所以

解得

當時，由解得，所以

當時，同理

所以。

（2）（ⅰ）當直線的斜率不存在時，得；

（ⅱ）當的斜率存在時，設直線

因為直線與圓相切，

所以

整理得所以①，

由消去y整理得，

由直線與圓相交得

設

則 ，②

所以③，

將①②代入③式得

綜上可得

（3）由（2）知

法一：（ⅰ）當斜率不存在或為時，可得,

（ⅱ）當的斜率存在且不為時，設直線，

由，解得

所以點A的坐標為

同理點B的坐標為

所以 ，

令，

所以，

故當 有最小值，且 .

綜上可得面積的最小值為 。

法二：記直線與圓的切點為

設

所以，

則

所以當時， .