Question

（2013•東城區一模）設A是由n個有序實數構成的一個數組，記作：A=（a₁，a₂，…，a_i，…，a_n）．其中a_i（i=1，2，…，n）稱為數組A的“元”，S稱為A的下標．如果數組S中的每個“元”都是來自 數組A中不同下標的“元”，則稱A=（a₁，a₂，…，a_n）為B=（b₁，b₂，…b_n）的子數組．定義兩個數組A=（a₁，a₂，…，a_n），B=（b₁，b₂，…，b_n）的關系數為C（A，B）=a₁b₁+a₂b₂+…+a_nb_n．
（Ⅰ）若A=(-

1

2

，

1

2

)，B=（-1，1，2，3），設S是B的含有兩個“元”的子數組，求C（A，S）的最大值；
（Ⅱ）若A=(

3

3

，

3

3

，

3

3

)，B=（0，a，b，c），且a²+b²+c²=1，S為B的含有三個“元”的子數組，求C（A，S）的最大值；
（Ⅲ）若數組A=（a₁，a₂，a₃）中的“元”滿足a12+a22+a32=1．設數組B_m（m=1，2，3，…，n）含有四個“元”b_m1，b_m2，b_m3，b_m4，且bm12+bm22+bm32+bm42=m，求A與B_m的所有含有三個“元”的子數組的關系數C（A，B_m）（m=1，2，3，…，n）的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依據題意中“元”的含義，可知當S=（-1，3）時，C（A，S）取得最大值為2．
（Ⅱ）對0是不是S中的“元”進行分類討論：①當0是S中的“元”時，由于A的三個“元”都相等，及B中a，b，c三個“元”的對稱性，利用平均值不等式計算C（A，S）=

3

3

（a+b）的最大值，②當0不是S中的“元”時，只須計算C（A，S）=

3

3

（a+b+c）的最大值即可，最后綜上即可得出C（A，S）的最大值．
（Ⅲ）由于B_m=（b_m1，b_m2，b_m3，b_m4）滿足bm12+bm22+bm32+bm42=m．及b_m1，b_m2，b_m3，b_m4關系的對稱性，只需考慮（b_m2，b_m3，b_m4）與（a₁，a₂，a₃）的關系數的情況．下面分情況討論：當b_m1=0時，當bm1≠0時，得出a₁b_m2+a₂b_m3+a₃b_m4的最大值的情況．最后綜合得出C（A，B_m）的最大值即可．

解答：解：（Ⅰ）依據題意，當S=（-1，3）時，C（A，S）取得最大值為2．
（Ⅱ）①當0是S中的“元”時，由于A的三個“元”都相等及B中a，b，c三個“元”的對稱性，可以只計算C(A，S)=

3

3

(a+b)的最大值，其中a²+b²+c²=1．
由（a+b）²=a²+b²+2ab≤2（a²+b²）≤2（a²+b²+c²）=2，
得 -

2

≤a+b≤

2

．
當且僅當c=0，且a=b=

2

2

時，a+b達到最大值

2

，
于是C(A，S)=

3

3

(a+b)=

6

3

．
②當0不是S中的“元”時，計算C(A，S)=

3

3

(a+b+c)的最大值，
由于a²+b²+c²=1，
所以（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc．≤3（a²+b²+c²）=3，
當且僅當a=b=c時，等號成立．
即當a=b=c=

3

3

時，a+b+c取得最大值

3

，此時C(A，S)=

3

3

(a+b+c)=1．
綜上所述，C（A，S）的最大值為1．
（Ⅲ）因為B_m=（b_m1，b_m2，b_m3，b_m4）滿足bm12+bm22+bm32+bm42=m．
由b_m1，b_m2，b_m3，b_m4關系的對稱性，只需考慮（b_m2，b_m3，b_m4）與（a₁，a₂，a₃）的關系數的情況．
當b_m1=0時，有(

bm2

m

)2+(

bm3

m

)2+(

bm4

m

)2=1．a1

bm2

m

+a2

bm3

m

+a3

bm4

m

≤

a 2 1 + b 2 m2 m

2

+

a 2 2 + b 2 m3 m

2

+

a 2 3 + b 2 m4 m

2

=

a12+a22+a32

2

+

b 2 m2 + b 2 m3 + b 2 m4

2m

=

1

2

+

1

2

=1．
即b_m1=0，且a1=

bm2

m

，a2=

bm3

m

，a3=

bm4

m

時，a₁b_m2+a₂b_m3+a₃b_m4的最大值為

m

．
當bm1≠0時，bm22+bm32+bm42＜m，
得a₁b_m2+a₂b_m3+a₃b_m4最大值小于

m

．
所以C（A，B_m）的最大值為

m

（m=1，2，3，…，n）．

點評：本小題主要考查函數與方程的綜合運用、平均值不等式在函數極值中的應用等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于中檔題．