Question

【題目】如圖，四邊形ABCD為矩形，DA⊥平面ABE，AE＝EB＝BC＝2，

BF⊥平面ACE，且點F在CE上．

(1)求證：AE⊥BE；

(2)求三棱錐D—AEC的體積；

(3)設點M在線段AB上，且滿足AM＝2MB，試在線段CE上確定一點N，

使得MN∥平面DAE.

Answer 1

【答案】(1)；(2).(3)點N為線段CE上靠近點C的一個三等分點

【解析】試題分析：（1）先證明，可得AE⊥平面BCE，由此能證明 ；（2）由 ，能求出三棱錐 的體積；（3）過點 作，交 于點，過點作 ，交 于點，連接，推導出 平面，由此能求出當點為線段 上靠近點的一個三等分點時， 平面 .

試題解析：(1)證明　由AD⊥平面ABE及AD∥BC，

得BC⊥平面ABE，BC⊥AE，

而BF⊥平面ACE，所以BF⊥AE，

又BC∩BF＝B，所以AE⊥平面BCE，

又BE平面BCE，故AE⊥BE.

在△ABE中，過點E作EH⊥AB于點H，

則EH⊥平面ACD.

由已知及(1)得EH＝AB＝，S△ADC＝2.

故VD—AEC＝VE—ADC＝×2×＝.(10分)

(3)解：在△ABE中，過點M作MG∥AE交BE于點G，在△BEC中過點G作GN∥BC交EC于點N，

連結MN，則由＝＝＝，得CN＝CE.

由MG∥AE，AE平面ADE，

MG平面ADE，則MG∥平面ADE.(12分)

再由GN∥BC，BC∥AD，AD平面ADE，GN平面ADE，

得GN∥平面ADE，所以平面MGN∥平面ADE.

又MN平面MGN，則MN∥平面ADE.(15分)

故當點N為線段CE上靠近點C的一個三等分點時，

MN∥平面ADE.

【方法點晴】本題主要考查線面平行的判定定理、直線和平面成的角的定義及求法、利用等積變換求三棱錐體積，屬于難題.證明線面平行的常用方法：①利用線面平行的判定定理，使用這個定理的關鍵是設法在平面內找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質或者構造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.②利用面面平行的性質，即兩平面平行，在其中一平面內的直線平行于另一平面. 本題（1）是就是利用方法①證明的.