Question

【題目】已知函數f（x）=xlnx，g（x）= ．
（Ⅰ）記F（x）=f（x）﹣g（x），判斷F（x）在區間（1，2）內零點個數并說明理由；
（Ⅱ）記（Ⅰ）中的F（x）在（1，2）內的零點為x0 ， m（x）=min{f（x），g（x）}，若m（x）=n（n∈R）在（1，+∞）有兩個不等實根x1 ， x2（x1＜x2），判斷x1+x2與2x0的大小，并給出對應的證明．

Answer 1

【答案】解：由題意：F（x）=f（x）﹣g（x），那么：F（x）=xlnx﹣ ．定義域為（0，+∞）
F′（x）=1+lnx+ ，由題設x∈（1，2），故F′（x）＞0，即F（x）在區間（1，2）上是增函數．（1，2）是單調增區間．那么：F（1）=ln1﹣ = ＜0，F（2）=2ln2﹣ ＞0，并且F（x）在（1，2）上連續的，故根據零點定理，有F（x）在區間（1，2）有且僅有唯一實根，即一個零點．
（Ⅱ）記（Ⅰ）中的F（x）在（1，2）內的零點為x0 ， 由f（x）=xlnx，當0＜x≤1時，f（x）≤0，而g（x）= ＞0，故f（x）＜g（x）；
由（Ⅰ）可知F′（x）=1+lnx+ ，當x＞1時，F′（x）＞0，存在零點x0∈（1，2），不然有：F（x0）=f（x0）﹣g（x0）=0，故1＜x＜x0時，f（x）＜g（x）；當x＞x0時，f（x）＞g（x）；
而此得到m（x）= ，
顯然：當1＜x＜x0時，m′（x）=1+lnx恒大于0，m（x）是單增函數．
當x＞x0時，m′（x）= 恒小于0，m（x）是單減函數．
m（x）=n（n∈R）在（1，+∞）有兩個不等實根x1 ， x2（x1＜x2），則x1∈（1，x0），x2∈（x0 ， +∞），
顯然：當x2→+∞時，x1+x2＞2x0 ．
要證明x1+x2＞2x0 ， 即可證明x2＞2x0﹣x1＞x0 ， 而m（x）在x＞x0時是單減函數．故證m（x2）＜m（2x0﹣x1）．
又由m（x1）=m（x2），即可證：m（x1）＜m（2x0﹣x1）．即x1lnx1＜ ，（構造思想）
令h（x）=xlnx﹣ ，由（1＜x＜x0）．其中h（x0）=0，
那么：h′（x）=1+lnx+ ﹣ ，
記φ（t）= ，則φ′（t）= ，當t∈（0，1）時，φ′（t）＞0；當t＞1時，φ′（t）＜0；故φ（t）max= ；
而φ（t）＞0；故 ＞φ（t）＞0，而2x0﹣x＞0，從而有： ＜0；
因此：h′（x）=1+lnx+ ﹣ ＞0，即h（x）單增，從而1＜x＜x0時，h（x）＜h（x0）=0．
即x1lnx1＜ 成立．
故得：x1+x2＞2x0 ．
【解析】（Ⅰ）對F（x）求導，利用x∈（1，2）判定導函數的符號，進而得到函數的單調性，在利用零點存在定理進行證明．（Ⅱ）先由x的范圍討論f（x），g（x）的大小，確定之間的關系式m（x），在判斷x1+x2與2x0的大小，可以利用分析法對其進行證明．
【考點精析】本題主要考查了函數的極值與導數和函數的零點與方程根的關系的相關知識點，需要掌握求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值；二次函數的零點：（1）△＞0，方程 有兩不等實根，二次函數的圖象與 軸有兩個交點，二次函數有兩個零點;（2）△＝0，方程 有兩相等實根（二重根），二次函數的圖象與 軸有一個交點，二次函數有一個二重零點或二階零點;（3）△＜0，方程 無實根，二次函數的圖象與 軸無交點，二次函數無零點才能正確解答此題．