Question

【題目】如圖，動點M到兩定點A（﹣1，0）、B（2，0）構成△MAB，且∠MBA=2∠MAB，設動點M的軌跡為C．

（1）求軌跡C的方程；
（2）設直線y=﹣2x+m與y軸交于點P，與軌跡C相交于點Q、R，且|PQ|＜|PR|，求 的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：設M的坐標為（x，y），顯然有x＞0，且y≠0

當∠MBA=90°時，點M的坐標為（2，±3）

當∠MBA≠90°時，x≠2，由∠MBA=2∠MAB有tan∠MBA= ，

化簡可得3x2﹣y2﹣3=0

而點（2，±3）在曲線3x2﹣y2﹣3=0上

綜上可知，軌跡C的方程為3x2﹣y2﹣3=0（x＞1）；

（2）解：直線y=﹣2x+m與3x2﹣y2﹣3=0（x＞1）聯立，消元可得x2﹣4mx+m2+3=0①

∴①有兩根且均在（1，+∞）內

設f（x）=x2﹣4mx+m2+3，∴ ，∴m＞1，m≠2

設Q，R的坐標分別為（xQ，yQ），（xR，yR），

∵|PQ|＜|PR|，∴xR=2m+ ，xQ=2m﹣ ，

∴ = =

∵m＞1，且m≠2

∴ ，且

∴ ，且

∴ 的取值范圍是（1，7）∪（7，7+4 ）

【解析】（1）設出點M（x，y），分類討論，根據∠MBA=2∠MAB，利用正切函數公式，建立方程化簡即可得到點M的軌跡方程；（2）直線y=﹣2x+m與3x2﹣y2﹣3=0（x＞1）聯立，消元可得x2﹣4mx+m2+3=0①，利用①有兩根且均在（1，+∞）內可知，m＞1，m≠2設Q，R的坐標，求出xR ， xQ ， 利用 ，即可確定 的取值范圍．