Question

【題目】如圖，在三棱錐中，已知是正三角形，平面平面，，為的中點，在棱上，且.

（1）求證：平面；

（2）若為的中點，問上是否存在一點，使平面？若存在，說明點的位置；若不存在，試說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）存在，.

【解析】

（1）取中點，由三角形中位線和已知長度關系可知且為中點，三線合一得到；由面面垂直性質可得平面，由線面垂直性質知；由線面垂直的判定定理可證得結論；

（2）假設存在滿足題意的點，由線面平行的性質可知；根據重心的性質可得到比例關系，即，從而可說明存在點.

（1）取中點，連接

分別為中點

又，

，即為中點

為等邊三角形，為中點

平面平面，平面平面 平面

平面

平面， 平面

（2）假設上存在點，使得平面

連接，交于點，連接

平面，平面，平面平面

為等邊的兩條中線 為的重心

，即

存在點，滿足時，平面