Question

已知命題ax²+ax-2=0在[-1，1]上有解；命題q：只有一個實數x滿足不等式x²+2ax+2a≤0，若命題“p”或“q”是假命題，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：對方程a²x²+ax-2=0進行因式分解是解決該題的關鍵，得出方程的根（用a表示出）．利用根在[-1，1]上，得出關于a的不等式，求出命題p為真的a的范圍，利用x²+2ax+2a≤0相應的二次方程的判別式等于0得出關于a的方程，求出a，再根據“p或q”是假命題得出a的范圍．

解答：解：由題意a≠0．
若p正確，a²x²+ax-2=（ax+2）（ax-1）=0的解為

1

a

或-

2

a

…（3分）
若方程在[-1，1]上有解，只需滿足|

1

a

|≤1或|-

2

a

|≤1
∴a≥1或a≤-1…（5分）
即a∈（-∞，-1]∪[1，+∞）…（7分）
若q正確，即只有一個實數x滿足x²+2ax+2a≤0，
則有△=4a²-8a=0，即a=0或2                        …（9分）
若p或q是假命題，則p和q都是假命題，…（11分）
有

-1＜a＜1 a≠0且a≠2

所以a的取值范圍是（-1，0）∪（0，1）…（14分）

點評：本題考查命題真假的判斷，利用因式分解求出方程的根是解決本題的關鍵，再根據一元二次不等式與二次方程的關系轉化相應的不等式問題，考查學生的等價轉化思想，考查學生對復合命題真假的判斷準則．