Question

已知圓O的方程為，圓M的方程為，過圓M上任意一點P作圓O的切線PA，若直線PA與圓M的另一個交點為Q，則當PQ的長度最大時，直線PA的斜率是___________.

Answer 1

1或-7

試題分析：根據題意可以分析圓O的圓心到PA的距離為，那么可知要使得在直角三角形QPA中，PQ最大，則只要OQ最大即可，那么即圓O的圓心到圓M上點的距離的最大值問題來處理，由于點|OM|為定值，且為，那么可知連接OM，則PA的長度結合勾股定理可知。那么設直線PA的斜率為k，那么PQ的中點與點M的連線的斜率為 ，那么聯立方程組可知其斜率為1或-7。
點評：要分析圓內弦的最值問題，可以結合圓的半徑和弦心距，以及半弦長的關系來分析，這是解決該試題的關鍵，同時要利用兩圓的位置關系，要使得PQ最大，只要點M到PA的距離最小即可。轉化為點到直線的距離的最小值來進行，進而求得斜率值，屬于中檔題。