Question

【題目】（本小題滿分16分）

在平面直角坐標系中，已知橢圓： 的離心率，直線過橢圓的右焦點，且交橢圓于， 兩點．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）已知點，連結，過點作垂直于軸的直線，設直線與直線交于點，試探索當變化時，是否存在一條定直線，使得點恒在直線上？若存在，請求出直線的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）點恒在直線上

【解析】試題分析：（1）直線與x軸的交點為橢圓的右焦點，所以由得從而，所以橢圓的標準方程為．（2）探索性問題，先通過特殊情形探索目標：令，則根據對稱性知滿足題意的定直線只能是．問題轉化為證明P,B,D三點共線，可利用斜率相等進行證明：設， ，則，從而 ，再利用直線與橢圓方程聯立方程組得關于y的一元二次方程，由韋達定理得與關系，進而得

試題解析：（1）由題設，得解得從而，

所以橢圓的標準方程為． 4分

（2）令，則， 或者， ．

當， 時， ；當， 時， ，

所以，滿足題意的定直線只能是． 6分

下面證明點恒在直線上．

設， ，由于垂直于軸，所以點的縱坐標為，從而只要證明在直線上． 8分

由得，

，

， ．① 10分

∵

， 13分

①式代入上式，得， 所以． 15分

∴點恒在直線上，從而直線、直線與直線三線恒過同一點

， 所以存在一條定直線： 使得點恒在直線上． 16分