Question

【題目】已知直棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=CC1= AB，E是線段CC1的中點，連接AE，B1E，AB1 ， B1C，BC1 ， 得到的圖形如圖所示． （Ⅰ）證明BC1⊥平面AB1C；
（Ⅱ）求二面角E﹣AB1﹣C的大小．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）∵直棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=CC1= AB， ∴AC2+BC2=AB2 ， ∴AC⊥BC，
以C為原點，CA為x軸，CB為y軸，CC1為z軸，建立空間直角坐標系，
設AC=BC=CC1= AB=1，
則B（0，1，0），C1（0，0，1），A（1，0，0），B1（0，1，1），C（0，0，0），
=（0，﹣1，1）， =（﹣1，1，1）， =（﹣1，0，0）， =（﹣1，0，1），
∴ =0， =0﹣1+1=0，
∴BC1⊥AC，BC1⊥AB1 ，
∵AC∩AB1=A，∴BC1⊥平面AB1C．
解：（Ⅱ）∵BC1⊥平面AB1C，∴ =（0，﹣1，1）是平面AB1C的法向量，
E（0， ，0）， =（﹣1，0， ），
設平面AB1E的法向量 =（x，y，z），
則 ，取x=1，得 =（1，﹣1，2），
設二面角E﹣AB1﹣C的大小為θ，
則cosθ= = = ，
∴θ=30°．
∴二面角E﹣AB1﹣C的大小為30°．

【解析】（Ⅰ）推導出AC⊥BC，以C為原點，CA為x軸，CB為y軸，CC1為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能證明BC1⊥平面AB1C．（Ⅱ）求出平面AB1C的法向量，和平面AB1E的法向量，利用向量法能求出二面角E﹣AB1﹣C的大小．
【考點精析】利用直線與平面垂直的判定對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一條直線與一個平面內的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直；注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉化的數學思想．