Question

已知定點A（-3，0），B（3，0），動點P在拋物線y²=2x上的移動，則

PA

•

PB

的最小值等于______．

Answer 1

由點P在拋物線y²=2x上的移動，設點P的坐標為（

1

2

t2，t），
∵A（-3，0）、B（3，0），∴

PA

=（-3-

1

2

t2，-t），

PB

=（3-

1

2

t2，-t），
根據向量數量積的公式，
可得

PA

•

PB

=（-3-

1

2

t2）（3-

1

2

t2）+t²=

1

4

t4+t2-9，
∵

1

4

t4≥0且t²≥0，當且僅當t=0時即P坐標為（0，0）時，等號成立．
∴

PA

•

PB

=

1

4

t4+t2-9≥-9，當點P與原點重合時

PA

•

PB

的最小值為-9．
故答案為：-9