Question

（2012•海淀區二模）某公司準備將100萬元資金投入代理銷售業務，現有A，B兩個項目可供選擇：
投資A項目一年后獲得的利潤X₁（萬元）的概率分布列如下表所示：

X1	11	12	17
P	a	0.4	b

且X₁的數學期望E（X₁）=12；
投資B項目一年后獲得的利潤X₂（萬元）與B項目產品價格的調整有關，B項目產品價格根據銷售情況在4月和8月決定是否需要調整，兩次調整相互獨立且在4月和8月進行價格調整的概率分別為p（0＜p＜1）和1-p．經專家測算評估：B項目產品價格一年內調整次數X（次）與X₂的關系如下表所示：

X（次）	0	1	2
X2（萬元）	4.12	11.76	20.40

（1）求a，b的值；
（2）求X₂的分布列；
（3）若E（X₁）＜E（X₂），則選擇投資B項目，求此時 p的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意得：

a+0.4+b=1 11a+12×0.4+17b=12.

由此能求出a，b的值．
（2）X₂的可能取值為4.12，11.76，20.40．分別求出P（X₂=4.12），P（X₂=11.76），P（X₂=20.40），由此能求出X₂的分布列．
（3）由（2）求出E（X₂）=-p²+p+11.76．因為E（X₁）＜E（X₂），所以12＜-p²+p+11.76．由此能求出當選擇投資B項目時，p的取值范圍．

解答：解：（1）由題意得：

a+0.4+b=1 11a+12×0.4+17b=12.

解得：a=0.5，b=0.1．…（3分）
（2）X₂的可能取值為4.12，11.76，20.40．…（4分）
P（X₂=4.12）=（1-p）[1-（1-p）]=p（1-p），…（5分）P(X2=11.76)=p[1-(1-p)]+(1-p)(1-p)=p2+(1-p)2，…（7分）
P（X₂=20.40）=p（1-p）．…（8分）
所以X₂的分布列為：

X2	4.12	11.76	20.40
P	p （1-p）	p2+（1-p）2	p （1-p）

…（9分）
（3）由（2）可得：E(X2)=4.12p(1-p)+11.76[p2+(1-p)2]+20.40p(1-p)
=-p²+p+11.76．…（11分）
因為E（X₁）＜E（X₂），
所以12＜-p²+p+11.76．
所以0.4＜p＜0.6．
當選擇投資B項目時，p的取值范圍是（0.4，0.6）．…（12分）

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的應用，是中檔題．在歷年高考中都是必考題型，解題時要認真審題，注意概率知識的合理運用．