Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD為等腰梯形，AB∥DC，AC⊥BD，AC與BD相交于點O，且頂點P在底面上的射影恰為O點，又BO=2，PO=，PB⊥PD，
（Ⅰ）求異面直接PD與BC所成角的余弦值；
（Ⅱ）求二面角P-AB-C的大小；
（Ⅲ）設點M在棱PC上，且=λ，問λ為何值時，PC⊥平面BMD。

Answer 1

解：∵PO⊥平面ABCD， ∴PO⊥BD， 又， 由平面幾何知識得：， （Ⅰ）過D作DE∥BC交AB于E，連結PE， 則∠PDE或其補角為異面直線PD與BC所成的角， ∵四邊形ABCD是等腰梯形， ∴， ∴， 又AB∥DC， ∴四邊形EBCD是平行四邊形。 ∴， ∴E是AB的中點，且， 又， ∴△PEA為直角三角形， ∴， 在△PED中，由余弦定理得 ， 故異面直線PD與BC所成的角的余弦值為。 （Ⅱ）連結OE，由（Ⅰ）及三垂線定理知， ∠PEO為二面角P-AB-C的平面角， ∴， ∴， ∴二面角P-AB-C的大小為45°。 （Ⅲ）連結MD，MB，MO， 平面平面BMD， ∵PC⊥OM， 又在Rt△POC中，， ∴， ∴， 故λ=2時，PC⊥平面BMD。