Question

（07年上海卷文）（14分）

我們把由半橢圓 與半橢圓 合成的曲線稱作“果圓”，其中，，． 如圖，設點，，是相應橢圓的焦點，，和，是“果圓” 與，軸的交點，是線段的中點．

（1）若是邊長為1的等邊三角形，求該“果圓”的方程；

（2）設是“果圓”的半橢圓上任意一點．求證：當取得最小值時，在點或處；

    （3）若是“果圓”上任意一點，求取得最小值時點的橫坐標．

Answer 1

解析：（1） ，

，于是，

所求“果圓”方程為，． 

（2）設，則

，

     ， 的最小值只能在或處取到．

     即當取得最小值時，在點或處．                   

    （3），且和同時位于“果圓”的半橢圓和半橢圓上，所以，由（2）知，只需研究位于“果圓”的半橢圓上的情形即可．

．

    當，即時，的最小值在時取到，

此時的橫坐標是．                                       

    當，即時，由于在時是遞減的，的最小值在時取到，此時的橫坐標是．                               

綜上所述，若，當取得最小值時，點的橫坐標是；

若，當取得最小值時，點的橫坐標是或．