Question

【題目】已知函數

（1）若函數有零點，求實數的取值范圍；

（2）證明：當時，

Answer 1

【答案】（I）；（II）詳見解析.

【解析】試題分析：（I）對函數求導，可得函數單調性，并求得函數的最小值，若函數有零點，函數最小值小于零且在定義域范圍有函數值大于零，解不等式可得的范圍；(Ⅱ)將代入不等式化簡為，可構造函數 利用導數判斷單調性可知在 條件下 最小值為 ， 最大值為．可證命題．

試題解析：

(Ⅰ)法1: 函數的定義域為.

由, 得.

因為,則時, ; 時, .

所以函數在上單調遞減, 在上單調遞增.

當時, .

當, 即時, 又, 則函數有零點.

所以實數的取值范圍為.

法2：函數的定義域為.

由, 得.

令，則.

當時, ; 當時, .

所以函數在上單調遞增, 在上單調遞減.

故時, 函數取得最大值.

因而函數有零點, 則.

所以實數的取值范圍為.

(Ⅱ) 要證明當時, ,

即證明當時, , 即.

令, 則.

當時, ;當時, .

所以函數在上單調遞減, 在上單調遞增.

當時, .

于是,當時, ①

令, 則.

當時, ;當時, .

所以函數在上單調遞增, 在上單調遞減.

當時, .

于是, 當時, ②

顯然, 不等式①、②中的等號不能同時成立.

故當時, .