Question

某少數民族的刺繡有著悠久的歷史，如圖(1)、(2)、(3)、(4)為她們刺繡最簡單的四個圖案，這些圖案都是由小正方形構成，小正方形數越多刺繡越漂亮．現按同樣的規律刺繡(小正方形的擺放規律相同)，設第n個圖形包含f(n)個小正方形．

(1)求出f(5)的值；

(2)利用合情推理的“歸納推理思想”，歸納出f(n＋1)與f(n)之間的關系式，并根據你得到的關系式求出f(n)的表達式；

(3)求的值．

 

Answer 1

（1）41（2）f(n)＝2n2－2n＋1（3）

【解析】(1)∵f(1)＝1，f(2)＝5，f(3)＝13，f(4)＝25，

∴f(5)＝25＋4×4＝41.

(2)∵f(2)－f(1)＝4＝4×1，

f(3)－f(2)＝8＝4×2，

f(4)－f(3)＝12＝4×3，

f(5)－f(4)＝16＝4×4，

由上式規律得出f(n＋1)－f(n)＝4n.

∴f(n)－f(n－1)＝4(n－1)，

f(n－1)－f(n－2)＝4(n－2)，

f(n－2)－f(n－3)＝4(n－3)，

…

f(2)－f(1)＝4×1，

∴f(n)－f(1)＝4[(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1]＝2(n－1)·n，∴f(n)＝2n2－2n＋1.

(3)當n≥2時，＝

∴＝1＋＝1＋＝.