Question

如圖，AB為半圓的直徑，P為半圓上一點，|AB|=10，∠PAB=a，且sina=

4

5

，建立適當的坐標系．
（1）求A、B為焦點且過P點的橢圓的標準方程．
（2）動圓M過點A，且與以B為圓心，以2

5

為半徑的圓相外切，求動圓圓心M的軌跡方程．

Answer 1

（1）以直線AB為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系．
∵AB為半圓的直徑，P為半圓上一點，∴∠APB=90°．
在Rt△APB中，|PB|=|AB|sinα=10×

4

5

=8，∴|AP|=6．
∴|PA|+|PB|=6+8=14=2a，解得a=7，
∵2c=10，∴c=5，
∴b²=a²-c²=24．
∴橢圓的標準方程為：

x2

49

+

y2

24

=1．
（2）由題意可得：|MB|-|MA|=2

5

＜10=|AB|，
故動圓圓心M的軌跡在雙曲線的左支上，
∵2c^′=10，2a^′=2

5

，∴c^′=5，a^′=

5

，(b′)2=52-(

5

)2=20．
其方程為

x2

5

-

y2

20

=1(x≤-

5

)．