【題目】已知函數f(x)＝x2＋bx為偶函數，數列{an}滿足an＋1＝2f(an－1)＋1，且a1＝3，an>1.
(1)設bn＝log2(an－1)，證明：數列{bn＋1}為等比數列；
(2)設cn＝nbn，求數列{cn}的前n項和Sn.
【答案】見解析
【解析】
(1)證明：∵函數f(x)＝x2＋bx為偶函數，
∴b＝0，
∴f(x)＝x2，
∴an＋1＝2(an－1)2＋1，
∴an＋1－1＝2(an－1)2，
∴
＝
＝
＝2.
∵a1＝3，
∴b1＝log22＝1，
∴bn＋1＝2n.
即bn＝2n－1，
∴數列{bn＋1}是以2為首項，以2為公比的等比數列.
(2)解：由題意得cn＝n2n－n.
設An＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，
設Bn＝1＋2＋3＋4＋…＋n＝
，
∴2An＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n×2n＋1.
∴－An＝2＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1＝
－n×2n＋1＝2n＋1－n×2n＋1－2，
∴An＝(n－1)2n＋1＋2.
∴Sn＝An－Bn＝(n－1)2n＋1＋2－.
激活思維優加課堂系列答案
活力試卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】傾斜角為
的直線
過點P（8,2），直線
和曲線C：
（
為參數）交于不同的兩點M1、M2.
（1）將曲線C的參數方程化為普通方程，并寫出直線
的參數方程；
（2）求
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
.
（I）求函數
的單調區間；
（II）若函數
的圖像在點
處的切線的傾斜角為
，問：
在什么范圍取值時，對于任意的
，函數
在區間
上總存在極值？
（III）當
時，設函數
，若在區間
上至少存在一個
，使得
成立，試求實數
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在多面體ABCDEF中，底面ABCD是梯形，四邊形ADEF是正方形，AB∥DC，AB＝AD＝1，CD＝2，AC＝EC＝
。
(1)求證：平面EBC⊥平面EBD；
(2)設M為線段EC上一點，且3EM＝EC，試問在線段BC上是否存在一點T，使得MT∥平面BDE，若存在，試指出點T的位置；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，已知拋物線C：y2＝4x，過點A(1，2)作拋物線C的弦AP，AQ.
(1)若AP⊥AQ，證明：直線PQ過定點，并求出定點的坐標；
(2)假設直線PQ過點T(5，－2)，請問是否存在以PQ為底邊的等腰三角形APQ？若存在，求出△APQ的個數，若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，四棱柱
中，底面
是矩形，且
， 
， 
，若
為
的中點，且
．
（Ⅰ）求證： 
平面
；
（Ⅱ）線段
上是否存在一點
，使得二面角
的大小為
？若存在，求出
的長；若不存在，說明理由．
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