Question

已知

a

=（sinx，

3

4

），

b

=（cos（x+

π

3

），1）函數f（x）=

a

•

b

．
（1）求f（x）的最值和單調遞減區間；
（2）已知在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a，b，c，f（A）=0，a=

3

，求△ABC的面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據平面向量的數量積的運算法則，計算出

a

•

b

，然后利用兩角和的余弦函數公式及特殊角的三角函數值化簡，合并后，提取2，再利用兩角和的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化為一個角的正弦函數，確定出f（x）的解析式，由正弦函數的遞減區間列出關于x的不等式，求出不等式的解集即可得到x的取值范圍，即為函數f（x）的單調遞減區間；
（2）利用f（A）=0求出A的值，利用余弦定理以及基本不等式求出bc的最大值，然后求解三角形面積的最大值．

解答：解：（1）∵f（x）=

a

•

b

=sinx（

1

2

cosx-

3

2

sinx）+

3

4

=

1

4

sin2x+

3

4

cos2x
=

1

2

sin(2x+

π

3

)
∴當2x+

π

3

=

π

2

時，函數取得最大值，fmax(x)=

1

2

，
當2x+

π

3

=-

π

2

時，函數取得最小值，fmin(x)=-

1

2

．
令

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z，
解得x∈[

π

12

+kπ，

7

12

π+kπ]，k∈Z．
f（x）的單調遞減區間：x∈[

π

12

+kπ，

7

12

π+kπ]，k∈Z．
（2）∵f（A）=0，∴

1

2

sin(2A+

π

3

)=0，2A+

π

3

=kπ，A=

kπ

2

-

π

6

，k∈Z，
又A是三角形的內角，∴k=1，
∴A=

π

3

，
又a=

3

，由余弦定理：a²=b²+c²-2bccosA，⇒b²+c²-bc=3，
∵b²+c²≥2bc，∴bc≤3，
S_△ABC=

1

2

bcsinA≤

3 3

4

．

點評：本題考查平面向量的數量積的運算法則，正弦函數的單調性，余弦定理的應用，基本不等式的應用，考查計算能力．