Question

矩形ABCD與矩形ABEF的公共邊為AB，且平面ABCD平面ABEF，如圖所示，FD， AD=1， EF=．

   （Ⅰ）證明：AE 平面FCB；

   （Ⅱ）求異面直線BD與AE所成角的余弦值

   （Ⅲ）若M是棱AB的中點，在線段FD上是否存在一點N，使得MN∥平面FCB？

證明你的結論．

Answer 1

（Ⅰ）見解析

（Ⅱ）

（Ⅲ）見解析

解析:

 (1) 平面ABCD平面ABEF,

且四邊形ABCD與ABEF是矩形,

AD平面ABEF,ADAE,

BC∥AD BCAE

又FD=2,AD=1,所以AF=EF=,

所以四邊形ABEF為正方形.AEFB,

又BFBF平面BCF，BC平面BCF

所以AE平面BCF……………………………………………4分

(2)設BFAE=O,取FD的中點為H,連接OH,在 OH//BD,

HOF即為異面直線BD與AE所成的角(或補角),

在中,OH=1,FH=1,FO=,cosHOF=

異面直線BD與AE所成的角的余弦值為………………………….8分

(3)當N為FD的中點時, MN∥平面FCB

證明：取CD的中點G,連結NG，MG，MN，

則NG//FC,MG//BC,

又NG平面NGM，MG平面NGM且NGMG=G

所以平面NGM//平面FBC,

MN平面NGM

MN//平面FBC……………………………………………………………12分