Question

【題目】已知a∈R，函數f（x）=log．

（1）當a=1時，解不等式f（x）＞1；

（2）若關于x的方程g（x）=f（x）﹣log3（ax+1）有且只有一個零點，求a的取值范圍；

（3）設0＜a＜1，若對任意t，函數f（x）在區間[t，t+1]上的最大值與最小值的差不超過1，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）（0，）（2）（3）

【解析】

（1）利用對數函數的單調性解不等式；

（2）函數的零點轉化為方程的根；

（3）利用函數的單調性求出函數的最大值和最小值，再作差變成不等式恒成立，最后構造函數求最值．

（1）a=1時，由f（x）＞1得，∴+1＞3，

∴0＜x＜，

∴不等式的解集（0，）

（2）g（x）=0時，log3（+a）=log3（ax+1），

∴+a=ax+1＞0，∴，

∴x=1，a＞﹣1，

故a的取值范圍是（﹣1，+∞）

（3）f（x）=log3（+a）在定義域內為減函數，

∴在區間[t，t+1]內[f（x）]max=f（t），[f（x）]min=f（t+1）

∴log3（（+a）﹣log3（+a）≤1，

∴﹣+2a≥0，即2at2+（2a++2）t﹣1≥0，

∵0＜a＜1，∴﹣＜0，

∴y=2at2+（2a+2）t﹣1在[t，t+1]上為增函數，

∴2a（）2+（2a+2）﹣1≥0即可，

∴a，又0＜a＜1，

∴≤a＜1，

∴a的取值范圍為[，1）