已知橢圓
，
、
是其左右焦點，離心率為
，且經過點
.
（1）求橢圓
的標準方程；
（2）若
、
分別是橢圓長軸的左右端點，
為橢圓上動點，設直線
斜率為
，且
，求直線
斜率的取值范圍；
（3）若為橢圓上動點，求
的最小值.
（1）橢圓的方程為
；（2）直線
的斜率的取值范圍是
；
（3）的最小值是
.
解析試題分析：（1）利用離心率以及
確定
、
之間的等量關系，然后將點的坐標代入橢圓的方程求出、，從而確定橢圓的標準方程；（2）設直線的斜率為
，并設點的坐標為
，利用點在橢圓上以及斜率公式得到
，進而利用
的取值范圍可以求出的取值范圍；（3）利用已知條件
，利用余弦定理得到
，結合基本不等式求出的最小值.
試題解析：（1）
，故橢圓的方程為；
（2）設的斜率為，設點
，
則
，
，
及
，
則
＝
又
，
，故斜率的取值范圍為；
（3）設橢圓的半長軸長、半短軸長、半焦距分別為、、
，則有
，
，
，
，
由橢圓定義，有
， 
的最小值為.
（當且僅當
時，即取橢圓上下頂點時，取得最小值）
考點：1.橢圓的標準方程；2.點差法；3.余弦定理；4.基本不等式
天天向上一本好卷系列答案
小學生10分鐘應用題系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
設橢圓
的左、右頂點分別為
、
，離心率
．過該橢圓上任一點P作PQ⊥x軸，垂足為Q，點C在QP的延長線上，且
.
（1）求橢圓的方程；
（2）求動點C的軌跡E的方程；
（3）設直線MN過橢圓的右焦點與橢圓相交于M、N兩點，且
，求直線MN的方程.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知圓
，若焦點在
軸上的橢圓
過點
，且其長軸長等于圓
的直徑．
（1）求橢圓的方程；
（2）過點
作兩條互相垂直的直線
與
，與圓交于
、
兩點，交橢圓于另一點
，設直線的斜率為
，求弦
長；
（3）求
面積的最大值．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知雙曲線
的離心率為
，右準線方程為
,
(1)求雙曲線C的方程；
(2)已知直線
與雙曲線C交于不同的兩點A，B，且線段AB的中點在以雙曲線C的實軸長為直徑的圓上，求m的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，已知拋物線
：
和⊙
：
，過拋物線上一點
作兩條直線與⊙
相切于
、
兩點，分別交拋物線為E、F兩點，圓心點到拋物線準線的距離為
．
（Ⅰ）求拋物線
的方程；
（Ⅱ）當
的角平分線垂直
軸時，求直線
的斜率；
（Ⅲ）若直線
在
軸上的截距為
，求
的最小值．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓C:
的離心率為
，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線
相切．
(1)求橢圓
的方程；
(2)若過點
(2，0)的直線與橢圓相交于兩點
，設
為橢圓上一點，且滿足
（
為坐標原點），當
時，求實數
取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
橢圓以坐標軸為對稱軸，且經過點
、
.記其上頂點為
，右頂點為
.
（1）求圓心在線段
上，且與坐標軸相切于橢圓焦點的圓的方程；
（2）在橢圓位于第一象限的弧上求一點
，使
的面積最大.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，在
軸上方有一段曲線弧
，其端點
、
在軸上（但不屬于），對上任一點
及點
，
，滿足：
．直線
，
分別交直線
于
，
兩點．
（Ⅰ）求曲線弧的方程；
（Ⅱ）求
的最小值（用
表示）；
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軸上的拋物線被直線
截得的弦長為
，求拋物線的方程.