Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面是邊長為2的菱形，∠BAD=60°，對角線AC與BD相交于點O，PO為四棱錐P-ABCD的高，且PO=

3

，E、F分別是BC、AP的中點．
（1）求證：EF∥平面PCD；
（2）求三棱錐F-PCD的體積．

Answer 1

（1）證明：取PD的中點G，連接FG，CG，
∵FG為△PAD的中位線，
∴FG∥AD且，FG=

1

2

AD
在菱形ABCD中，AD∥BC且AD=BC，
又∵E為BC的中點，∴CE∥AD，且CE=

1

2

AD
∴CE∥FG且，CE=FG
∴四邊形EFCG為平行四邊形，∴EF∥CG，
又∵EF?平面PCD，CG?平面PCD
∴EF∥平面PCD；
（2）取OA中點N，連接FN
∵F為PA的中點，故FN∥PO，
∵OP⊥底面ABCD，∴FN⊥底面ABCD，
在△PAO中，FN=

1

2

PO=

3

2

，
∵底面是邊長為2的菱形，∠BAD=60°，
∴AC⊥BD，且DO=1，AC=2

3

，
由幾何體得，V_F-PCD=V_A-PCD-V_A-FCD
=V_P-ACD-V_F-ACD
=

1

3

•S△ACD•PO-

1

3

•S△ACD•FN
=

1

3

•S△ACD(PO-FN)=

1

3

×

1

2

×2

3

×1×

3

2

=

1

2

．