Question

在金融危機中，某鋼材公司積壓了部分圓鋼，經清理知共有2 009根．現將它們堆放在一起，
(Ⅰ)若堆放成縱斷面為正三角形（每一層的根數比上一層根數多1根），并使剩余的圓鋼盡可能地少，則剩余了多少根圓鋼？
(Ⅱ)若堆成縱斷面為等腰梯形（每一層的根數比上一層根數多1根），且不少于7層，圓鋼沒有剩余．
(1)共有幾種不同的方案？
(2)已知每根圓鋼的直徑為10cm，為考慮安全隱患，堆放高度不得高于4m，則選擇哪個方案，最能節省堆放場地（即最下層占用面積最少）?

Answer 1

解：(Ⅰ)當縱斷面為正三角形時，設共堆放n層，
則從上到下每層圓鋼根數是以1為首項，1為公差的等差數列，且剩余的圓鋼一定小于n根，
從而由且n∈N*得，
當n=62 時，使剩余的圓鋼盡可能地少，此時剩余了56根圓鋼。
(Ⅱ)(1)當縱斷面為等腰梯形時，設共堆放n層，
則從上到下每層圓鋼根數是以x為首項，1為公差的等差數列，
從而nx+n(n-1)=2009，
即n(2x+n-1)=2×2009=2×7×7×41，
因n-1與n的奇偶性不同，
所以2x+n-1與n的奇偶性也不同，且n＜2x+n-1，
從而由上述等式得：
或或或，
所以共有4種方案可供選擇． 
(2)因層數越多，最下層堆放得越少，占用面積也越少，
所以由(1)可知：
若n= 49，則x=17，說明最七層有17根圓鋼，最下層有65根圓鋼，此時如圖所示，兩腰之長為480cm，上下底之長為160cm和640cm，從而梯形之高為240cm，顯然大于4m，不合條件，舍去；

 若n=41，則x=29，說明最上層有29根圓鋼，最下層有69根圓鋼，此時如圖所示，兩腰之長為400cm，上下底之長分別為280cm，680cm，從而梯形之高為200cm，而200+10＜400，所以符合條件；
綜上所述，選擇堆放41層這個方案，最能節省堆放場地。