Question

（本小題滿分13分）
如圖6所示，在直角坐標平面上的矩形中，，，點，滿足，，點是關于原點的對稱點，直線與相交于點．
（Ⅰ）求點的軌跡方程；
（Ⅱ）若過點的直線與點的軌跡相交于，兩點，求的面積的最大值．
圖6

Answer 1

（1）（2）

（Ⅰ）設點的坐標為，由圖可知，，，
．
由，得點的坐標為；
由，得點的坐標為
．              ……分
于是，當時，直線的方程為
，                ……①
直線的方程為．……②
①②，得，即．
當時，點即為點，而點的坐標也滿足上式．      
故點的軌跡方程為．                                                    ……分
（Ⅱ）設過點的直線的方程為，且設，．
由得．   ……③
由于上述方程的判別式，所以，是方程③的兩根，
根據求根公式，可得．
又，所以的面積．             ……分
令，則．
于是，．
記，，則．
因為當時，，所以在上單調遞增．
故當時，取得最小值，此時取得最大值．
綜上所述，當時，即直線垂直于軸時，的面積取得最大值．
……分