Question

【題目】已知橢圓：在軸上的一個焦點，與短軸兩個端點的連線互相垂直，且右焦點坐標為．

（1）求橢圓的方程；

（2）設直線與圓相切，和橢圓交于，兩點，為原點，線段，分別和圓交于，兩點，設，的面積分別為，，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）設橢圓的標準方程為，利用待定系數法求解；

（2）分直線斜率不存在與存在兩種情況討論，當直線斜率不存在時，易得，當直線斜率存在，設設，，由直線與圓相切得到，將直線與橢圓聯立得到韋達定理，將表示成k的函數，求出值域即可.

（1）設橢圓的標準方程為．

如圖所示，為等腰直角三角形，為斜邊的中線（高），

且，，，．

故所求橢圓的標準方程為

（2）①當直線斜率不存在時，其方程為，由對稱性，不妨設為，

此時，，，，故

②若直線斜率存在，設其方程為，由已知得

設，，將直線與橢圓聯立得

由韋達定理，

結合及，可知：

將韋達定理代入整理得

結合知，設，

則

綜上的取值范圍為