Question

給出函數封閉的定義：若對于定義域D內的任意一個自變量x₀，都有函數值f（x₀）∈D，稱函數y=f（x）在D上封閉．
（1）若定義域D₁=（0，1），判斷函數g（x）=2x-1是否在D₁上封閉，并說明理由；
（2）若定義域D₂=（1，5]，是否存在實數a，使得函數f(x)=

5x-a

x+2

在D₂上封閉？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由．
（3）利用（2）中函數，構造一個數列{x_n}，方法如下：對于給定的定義域D₂=（1，5]中的x₁，令x₂=f（x₁），x₃=f（x₂），…，x_n=f（x_n-1），…在上述構造數列的過程中，如果x_i（i=1，2，3，4…）在定義域中，構造數列的過程將繼續下去；如果x_i不在定義域中，則構造數列的過程停止．
①如果可以用上述方法構造出一個無窮常數列{x_n}，求實數a的取值范圍．
②如果取定義域中任一值作為x₁，都可以用上述方法構造出一個無窮數列{x_n}，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）對于定義域D內的任意一個自變量x₀，都有函數值g（x₀）∈（-1，1）∉D₁，故函數g（x）=2x-1在D₁上不封閉；
（2）若存在，則f(x)=

5x-a

x+2

=5-

10+a

x+2

，根據定義域D₂=（1，5]，可知(

5-a

3

，

25-a

7

]∈（1，5]，故可求；
（3）①根據題意，只需當x≠-2時，方程f（x）=x有解，方程x²-3x+a=0有不等于2的解．將x=2代入方程，得x=2，由此可得a的取值范圍．
②根據題意，f（x）=a在R中無解，亦即當x≠-2時，方程（5-a）x=3a無實數解．由此能夠導出a．

解答：解：（1）對于定義域D內的任意一個自變量x₀，都有函數值g（x₀）∈（-1，1）∉D₁，
故函數g（x）=2x-1在D₁上不封閉；
（2）若存在，則f(x)=

5x-a

x+2

=5-

10+a

x+2

，
∵定義域D₂=（1，5]，∴(

5-a

3

，

25-a

7

]∈（1，5]，
∴-10≤a≤-2
（3）①根據題意，只需當x≠-2時，方程f（x）=x有解，方程x²-3x+a=0有不等于2的解．
將x=-2代入方程，得a=-10，由此可得a的取值范圍是（-∞，-10）∪（-10，+∞）．
②根據題意，f(x)=

5x-a

x+2

=a在R中無解，
亦即當x≠-2時，方程（5-a）x=3a無實數解．
∴a=5即為所求a的值．

點評：本題以新定義函數為載體，考查新定義，關鍵是對新定義的理解，有一定的難度．