Question

如圖，已知橢圓C：+y²=1（a＞1）的上頂點為A，右焦點為F，直線AF與圓M：x²+y²-6x-2y+7=0相切．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）不過點A的動直線l與橢圓C相交于PQ兩點，且•=0．求證：直線l過定點，并求出該定點的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）確定圓M的圓心與半徑，利用直線AF與圓M相切，根據點到直線的距離公式，求得幾何量，從而可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設直線AP的方程為y=kx+1，則直線AQ的方程為y=-，分別與橢圓C的方程聯立，求得P、Q的坐標，可得直線l的方程，即可得到結論．
解答：（Ⅰ）解：將圓M的一般方程x²+y²-6x-2y+7=0化為標準方程（x-3）²+（y-1）²=3，
圓M的圓心為M（3，1），半徑r=
由A（0，1），F（c，0）（c=），得直線AF：+y=1，即x+cy-c=0，
由直線AF與圓M相切，得=，∴c²=2
∴a²=c²+1=3，∴橢圓C的方程為C：+y2=1；
（Ⅱ）證明：∵•=0，∴AP⊥AQ，從而直線AP與坐標軸不垂直，
由A（0，1）可設直線AP的方程為y=kx+1，則直線AQ的方程為y=-
將y=kx+1代入橢圓C的方程，整理得：（1+3k²）x²+6kx=0，
解得x=0或x=-，因此P的坐標為（-，-+1），
即P（-，）
將上式中的k換成-，得Q（，）
∴直線l的斜率為=
直線l的方程為y=（x-）+
化簡得直線l的方程為y=x-，因此直線l過定點N（0，-）．
點評：本題考查直線與圓的位置關系，考查橢圓的標準方程，考查圓錐曲線和直線的位置關系，考查韋達定理的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．