Question

（2013•嘉興二模）已知正實數a，b滿足a+2b=1，則a2+4b2+

1

ab

的最小值為（　�。�

• A．

  7

  2

• B．4
• C．

  161

  36

• D．

  17

  2

Answer 1

分析：由條件利用基本不等式可得 ab∈（0，

1

8

]，再由 a2+4b2+

1

ab

=1-4ab+

1

ab

，且1-4ab+

1

ab

在（0，

1

8

]上是減函數，求得它的最小值．

解答：解：∵已知正實數a，b滿足a+2b=1，∴1=a+2b≥2

2ab

，當且僅當a=2b時，取等號．解得ab≤

1

8

，即 ab∈（0，

1

8

]．
再由 （a+2b）²=a²+4b²+4ab=1，故 a2+4b2+

1

ab

=1-4ab+

1

ab

．
把ab當做自變量，則1-4ab+

1

ab

在（0，

1

8

]上是減函數，故當ab=

1

8

時，1-4ab+

1

ab

取得最小值為 1-

1

2

+8=

17

2

，
故選D．

點評：本題主要考查基本不等式以及函數的單調性的應用，屬于基礎題．