Question

（2013•東城區一模）已知函數f（x）=（x²+ax+a）e^-x，（a為常數，e為自然對數的底）．
（Ⅰ）當a=0時，求f′（2）；
（Ⅱ）若f（x）在x=0時取得極小值，試確定a的取值范圍；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，設由f（x）的極大值構成的函數為g（a），將a換元為x，試判斷曲線y=g（x）是否能與直線3x-2y+m=0（ m為確定的常數）相切，并說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a=0代入函數解析式，求導后直接把x=2代入導函數解析式計算；
（Ⅱ）求出原函數的導函數，解出導函數的零點為0或2-a，分2-a=0、2-a＞0、2-a＜0三種情況討論導函數在不同區間內的符號，判出極小值點，從而得到使f（x）在x=0時取得極小值的a的取值范圍；
（Ⅲ）由（Ⅱ）中的條件，能夠得到x=2-a是f（x）的極大值點，求出f（2-a），得到g（x），兩次求導得到函數
g（x）的導數值小于1，而直線3x-2y+m=0的斜率為

3

2

，說明曲線y=g（x）與直線3x-2y+m=0不可能相切．

解答：解：（Ⅰ）當a=0時，f（x）=x²e^-x，f'（x）=2xe^-x-x²e^-x=xe^-x（2-x）．
所以f'（2）=0．
（Ⅱ）f'（x）=（2x+a）e^-x-e^-x（x²+ax+a）=e^-x[-x²+（2-a）x]=-e^-x•x[x-（2-a）]．
令f'（x）=0，得x=0或x=2-a．
若2-a=0，即a=2時，f'（x）=-x²e^-x≤0恒成立，
此時f（x）在區間（-∞，+∞）上單調遞減，沒有極小值；
當2-a＞0，即a＜2時，
若x＜0，則f'（x）＜0．
若0＜x＜2-a，則f'（x）＞0．
所以x=0是函數f（x）的極小值點．
當2-a＜0，即a＞2時，
若x＞0，則f'（x）＜0．
若2-a＜x＜0，則f'（x）＞0．
此時x=0是函數f（x）的極大值點．
綜上所述，使函數f（x）在x=0時取得極小值的a的取值范圍是a＜2．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知當a＜2，且x＞2-a時，f'（x）＜0，
因此x=2-a是f（x）的極大值點，極大值為f（2-a）=（4-a）e^a-2．
所以g（x）=（4-x）e^x-2（x＜2）．
g'（x）=-e^x-2+e^x-2（4-x）=（3-x）e^x-2．
令h（x）=（3-x）e^x-2（x＜2）．
則h'（x）=（2-x）e^x-2＞0恒成立，即h（x）在區間（-∞，2）上是增函數．
所以當x＜2時，h（x）＜h（2）=（3-2）e^2-2=1，即恒有g'（x）＜1．
又直線3x-2y+m=0的斜率為

3

2

，
所以曲線y=g（x）不能與直線3x-2y+m=0相切．

點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性，考查了函數模型的選擇，考查了函數存在極值點的條件，需要注意的是，函數在極值點處的導數一定等于0，但導數為0的點不一定是極值點，此題有一定難度．