Question

已知向量

a

，

b

是平面α內(nèi)的一組基底，向量

c

=

a

+2

b

，對(duì)于平面α內(nèi)異于

a

，

b

的不共線(xiàn)向量

m

，

n

，現(xiàn)給出下列命題：
①當(dāng)

m

，

n

分別與

a

，

b

對(duì)應(yīng)共線(xiàn)時(shí)，滿(mǎn)足

c

=

m

+2

n

的向量

m

，

n

有無(wú)數(shù)組；
②當(dāng)

m

，

n

與

a

，

b

均不共線(xiàn)時(shí)，滿(mǎn)足

c

=

m

+2

n

的向量

m

，

n

有無(wú)數(shù)組；
③當(dāng)

m

，

n

分別與

a

，

b

對(duì)應(yīng)共線(xiàn)時(shí)，滿(mǎn)足

c

=

m

+2

n

的向量

m

，

n

不存在；
④當(dāng)

m

與

a

共線(xiàn)，但向量

n

與向量

b

不共線(xiàn)時(shí)，滿(mǎn)足

c

=

m

+2

n

的向量

m

，

n

有無(wú)數(shù)組．
其中真命題的序號(hào)是

 

．（填上所有真命題的序號(hào)）

Answer 1

分析：根據(jù)題意，分析命題：利用平面向量的基本定理，同一個(gè)向量在兩個(gè)方向上的分解是唯一的，判斷出①③的對(duì)錯(cuò)；對(duì)于③④，由于基底的方向可以是任意的，所以對(duì)同一個(gè)向量分解唯一時(shí)，對(duì)應(yīng)的基底可無(wú)數(shù)個(gè)，綜合可得答案．

解答：解：對(duì)應(yīng)①，由平面向量基本定理，向量分解是唯一的；所以只有

a

，

b

滿(mǎn)足

c

=

a

+2

b

，不在存在

m

，

n

故①錯(cuò)；
對(duì)于②，由于

m

 ，

n

方向任意，所以滿(mǎn)足

c

=

m

+2

n

的向量

m

，

n

有無(wú)數(shù)組，故②對(duì)；
對(duì)于③由①的判斷過(guò)程得到③對(duì)；
對(duì)于④，由于

n

向量的任意性，故可構(gòu)成不同的基底；所以滿(mǎn)足

c

=

m

+2

n

的向量

m

，

n

有無(wú)數(shù)組，故④對(duì)
故答案為：②③④

點(diǎn)評(píng)：本題考查當(dāng)基底的方向確定，則對(duì)于一個(gè)向量的分解是唯一的；當(dāng)基底方向不確定，對(duì)于一個(gè)向量的分解系數(shù)確定，則基底無(wú)數(shù)個(gè)．