Question

（本題滿分12分）
已知中心在原點O，焦點在x軸上的橢圓E過點(1，)，離心率為．
(Ⅰ)求橢圓E的方程；
(Ⅱ)直線x＋y＋1＝0與橢圓E相交于A、B(B在A上方)兩點，問是否存在直線l，使l與橢圓相交于C、D(C在D上方)兩點且ABCD為平行四邊形，若存在，求直線l的方程與平行四邊形ABCD的面積；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）＝1．（2）

試題分析：解：(Ⅰ)設橢圓的方程為＝1(a＞b＞0)，由題意可得
解得a²＝4，b²＝3．
∴橢圓的方程為＝1．                                   ……4分
(Ⅱ)由于直線x＋y＋1＝0過橢圓的左焦點F₁(－1,0)，且斜率為－1，由對稱性可知，存在直線l過橢圓的右焦點F₂(1,0)，且斜率為－1的直線l：x＋y－1＝0符合題意．
直線x＋y＋1＝0與直線x＋y－1=0的距離為d＝＝．         ……7分
聯立得7x²－8x－8＝0．
設C(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)，則x₁＋x₂＝，x₁x₂＝－．                 ……9分
|CD|＝×＝×＝．
故平行四邊形ABCD的面積S＝×＝．                 ……12分
點評：對于圓錐曲線方程的求解，一般應用待定系數法來得到。同時要采用設而不求的聯立方程組的思想，研究直線與圓錐曲線的位置關系。