Question

若奇函數f（x）在其定義域R上是減函數，且對任意的x∈R，不等式f（cos2x+sinx）+f（sinx-a）≤0恒成立，則a的最大值是

-3

．

Answer 1

分析：根據函數是奇函數且在R上是減函數，將原不等式變形為cos2x+2sinx≥a恒成立，結合二倍角的三角函數公式和二次函數在閉區間上求最值的方法，即可得到a的最大值．

解答：解：不等式f（cos2x+sinx）+f（sinx-a）≤0恒成立，即f（cos2x+sinx）≤-f（sinx-a）恒成立
又∵f（x）是奇函數，-f（sinx-a）=f（-sinx+a）
∴不等式f（cos2x+sinx）≤f（-sinx+a）在R上恒成立
∵函數f（x）在其定義域R上是減函數，
∴cos2x+sinx≥-sinx+a，即cos2x+2sinx≥a
∵cos2x=1-2sin²x，∴cos2x+2sinx=-2sin²x+2sinx+1，
當sinx=-1時cos2x+2sinx有最小值-3．
因此a≤-3，a的最大值是-3
故答案為：-3

點評：本題在已知函數f（x）的單調性的奇偶性的前提下，解決一個不等式恒成立的問題，著重考查了函數的單調性和奇偶性、二倍角的三角函數公式和二次函數在閉區間上求最值等知識，屬于基礎題．