Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）討論函數的單調性；

（Ⅱ）記函數的兩個零點分別為，且.已知，若不等式恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）函數在上單調遞增；在上單調遞減; （Ⅱ）.

【解析】試題分析：（Ⅰ）求出函數的導數，通過討論的范圍，求出函數 的單調區間即可; （Ⅱ）分離參數得：,從而可得恒成立；再令,從而可得不等式在上恒成立，再令，從而利用導數化恒成立問題為最值問題即可．

試題解析：（Ⅰ）依題意，函數的定義域為，

，

當時，恒成立，故函數在上單調遞增；

當時，令，得；令，得；

故函數在上單調遞增；在上單調遞減，

（Ⅱ）由（I）可知分別為方程的兩個根，即，，

所以原式等價于.

因為，，所以原式等價于，

又由，作差得，，即.

所以原式等價于.

因為，原式恒成立，即恒成立.

令，則不等式在上恒成立.

令，則，

當時，可見時，，所以在上單調遞增，又在恒成立，符合題意；

當時，可見當時，；當時，，

所以在時單調遞增，在時單調遞減.

又，所以在上不能恒小于0，不符合題意，舍去.

綜上所述，若不等式恒成立，只須，又，所以.