Question

【題目】已知函數f（x）=|x﹣a|+m|x+a|．
（1）當m=a=﹣1時，求不等式f（x）≥x的解集；
（2）不等式f（x）≥2（0＜m＜1）恒成立時，實數a的取值范圍是{a|a≤﹣3或a≥3}，求實數m的集合．

Answer 1

【答案】
（1）解：m=a=﹣1時，|x+1|﹣|x﹣1|≥x，

x＜﹣1時，﹣（x+1）+（x﹣1）≥x，解得：x≤﹣2，

﹣1≤x≤1時，（x+1）+（x﹣1）≥x，解得：0≤x＜1，

x≥1時，（x+1）﹣（x﹣1）≥x，解得：1≤x≤2，

綜上，不等式的解集是{x|x≤﹣2或0≤x≤2}；

（2）解：f（x）=|x﹣a|+m|x+a|=m（|x﹣a|+|x+a|）+（1﹣m）|x﹣a|≥2m|a|+（1﹣m）|x﹣a|≥2m|a|≥2，

解得：a≤﹣ 或a≥ ，

∵數a的取值范圍是{a|a≤﹣3或a≥3}，

故 =3，解得：m= ，

∴實數m的集合是{m|m= }

【解析】（1）將m=a=﹣1代入（x），通過討論x的范圍求出不等式的解集即可；（2）根據絕對值的性質得到2m|a|≥2，解出a，得到關于m的方程，解出即可．
【考點精析】關于本題考查的絕對值不等式的解法，需要了解含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號才能得出正確答案．