Question

【題目】給出定義：若 m﹣ ＜x≤m+ （其中m為整數），則m叫做離實數x最近的整數，記作{x}，即{x}=m．在此基礎上給出下列關于函數f（x）=x﹣{x}的四個命題：
①函數y=f（x）的定義域是R，值域是（﹣ ， ]
②函數y=f（x）的圖象關于y軸對稱；
③數y=f（x）的圖象關于坐標原點對稱；
④函數y=f（x）在（﹣ ， ]上是增函數；
則其中正確命題是（填序號）．

Answer 1

【答案】①④
【解析】解：由題意知，{x}﹣ ＜x≤{x}+ ，
則得到f（x）=x﹣{x}∈（﹣ ， ]，則命題①為真命題；
由于k∈Z時，f（k）=k﹣{k}=k﹣k=0，但由于f（x）∈（﹣ ， ]，
故函數不是中心對稱圖形，故命題③為假命題；
由于{x}﹣ ＜x≤{x}+ ，則得到f（x）=x﹣{x}為分段函數，且在（﹣ ， ]為增函數，故命題④為真命題．
進而可得：函數圖象不可能關于y軸對稱，故命題②為假命題；
正確的命題為①④
所以答案是：①④
【考點精析】通過靈活運用命題的真假判斷與應用，掌握兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系即可以解答此題．