Question

【題目】已知公差不為零的等差數列{an}中，a1=1且a1 ， a3 ， a9成等比數列， （Ⅰ）求數列{an}的通項公式
（Ⅱ）設bn=n2 求數列[bn}的前n項和Sn ．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設數列{an}的公差為d≠0． ∵a1=1，且a1 ， a3 ， a9成等比數列，
∴a32=a1a9 ， 即（1+2d）2=1×（1+8d），
∴4d2=8d，∵d≠0，∴d=1．
∴an=a1+（n﹣1）=1+n﹣1=n．
（Ⅱ）∵bn=n2 =n2n
∴Sn=121+222+323+…+（n﹣1）2n﹣1+n2n…①
2Sn=122+223+…+（n﹣2）2n﹣1+（n﹣1）2n+n2n+1…②
①﹣②得﹣Sn=2+22+23+…+2n﹣n2n﹣1=2n+1（1﹣n）﹣2．
∴Sn=（n﹣1）2n+1+2．
【解析】（Ⅰ）設數列{an}的公差為d≠0．由a1=1，且a1 ， a3 ， a9成等比數列，可得a32=a1a9 ， 即（1+2d）2=1×（1+8d），解出d即可得出通項公式；（Ⅱ）bn=n2 =n2n ， 利用錯位相減法求和即可．
【考點精析】認真審題，首先需要了解數列的前n項和(數列{an}的前n項和sn與通項an的關系)，還要掌握數列的通項公式(如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式)的相關知識才是答題的關鍵．