Question

圖6

我們把由半橢圓=1(x≥0)與半橢圓=1(x≤0)合成的曲線稱作“果圓”,其中a²=b²+c²,a＞0,b＞c＞0.

如圖6,點F₀、F₁、F₂是相應橢圓的焦點,A₁、A₂和B₁、B₂分別是“果圓”與x、y軸的交點.〔(文)M是線段A₁A₂的中點〕

(1)(理)若△F₀F₁F₂是邊長為1的等邊三角形,求“果圓”的方程.

(2)(理)當|A₁A₂|＞|B₁B₂|時,求的取值范圍.

(文)設P是“果圓”的半橢圓=1(x≤0)上任意一點,求證:當|PM|取得最小值時,P在點B₁、B₂或A₁處.

(3)(理)連結“果圓”上任意兩點的線段稱為“果圓”的弦.試研究:是否存在實數k,使斜率為k的“果圓”平行弦的中點軌跡總是落在某個橢圓上?若存在,求出所有可能的k值;若不存在,請說明理由.

(文)若P是“果圓”上任意一點,求|PM|取得最小值時點P的橫坐標.

Answer 1

解：(1)(理)∵F₀(c,0),F₁(0,),F₂(0,),

∴|F₀F₂|==b=1,|F₁F₂|==1.

于是c²=,a²=b²+c²=,所求“果圓”方程為x²+y²=1(x≥0),y²+x²=1(x≤0).

(2)(理)由題意,得a+c＞2b,即＞2b-a.

∵(2b)²＞b²+c²=a²,∴a²-b²＞(2b-a)²,得＜.

又b²＞c²=a²-b²,∴＞.∴∈(,).

(文)設P(x,y),則|PM|²=(x)²+y²=(1)x²-(a-c)x++b²,-c≤x≤0,∵1＜0,

∴|PM|²的最小值只能在x=0或x=-c處取到,即當|PM|取得最小值時,P在點B₁、B₂或A₁處.

(3)(理)設“果圓”C的方程為=1(x≥0),=1(x≤0).

記平行弦的斜率為k.

當k=0時,直線y=t(-b≤t≤b)與半橢圓=1(x≥0)的交點是P(a,t),與半橢圓=1(x≤0)的交點是Q(-c,t).

∴P、Q的中點M(x,y)滿足得=1.

∵a＜2b,∴≠0.

綜上所述,當k=0時,“果圓”平行弦的中點軌跡總是落在某個橢圓上.

當k＞0時,以k為斜率過B₁的直線l與半橢圓=1(x≥0)的交點是().

由此,在直線l右側,以k為斜率的平行弦的中點軌跡在直線y=x上,即不在某一橢圓上.

當k＜0時,可類似討論得到平行弦中點軌跡不都在某一橢圓上.

(文)∵|A₁M|=|MA₂|,且B₁和B₂同時位于“果圓”的半橢圓=1(x≥0)和半橢圓=1(x≤0)上,∴由(2)知,只需研究P位于“果圓”的半橢圓=1(x≥0)上的情形即可.

|PM|²=(x)²+y²=[x]²+b²+.

當x=≤a,即a≤2c時,|PM|²的最小值在x=時取到,此時P的橫坐標是.

當x=＞a,即a＞2c時,由于|PM|²在x＜a時是遞減的,|PM|²的最小值在x=a時取到,此時P的橫坐標是a.

綜上所述,若a≤2c,當|PM|取得最小值時,點P的橫坐標是;若a＞2c,當|PM|取得最小值時,點P的橫坐標是a或-c.