Question

設O為坐標原點，F₁，F₂是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦點，若在橢圓上存在點P，滿足∠F₁PF₂=60°，|OP|=

3

2

a，則該橢圓的離心率為（　　）

• A．

  1

  2

• B．

  2

  2

• C．

  1

  3

• D．

  3

  2

Answer 1

分析：要求橢圓的離心率，即要求a，c的關系，首先由定義和余弦定理得到一個關系，再由中線長公式得到一個關系，聯立可得．

解答：解：設|PF₁|=x，|PF₂|=y，則x+y=2a；①
由余弦定理 cos∠F₁PF₂=

PF 12+PF 2 2-F 1F 2 2

2PF 1•PF 2

⇒

1

2

=

x2+y2-4c 2

2xy

；
∴x²+y²-xy=4c²；②
∵中線長公式

OP

=

1

2

（

PF 1

+

PF 2

）
故OP²=

1

4

（PF₁²+PF₂²+2

PF 1

•

PF 2

）
⇒

3a2

4

=

1

4

（x²+y²+2xycos∠F₁PF₂）⇒x²+y²=3a²-xy；③
∴①②③聯立代換掉x，y得：a²=4c²；
∴

c

a

=

1

2

．
故選：A．

點評：本題主要考查橢圓的定義，余弦定理及中線長公式，體現了在解題中要靈活運用轉化知識．